Halaman
Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit CV. Usaha MakmurMATEMATIKAKONSEP DAN APLIKASINYAUntuk SMP/MTs Kelas VIIIPenulis:Dewi NuhariniTri WahyuniEditor:IndratnoPerancang Kulit:Risa ArdiyantoIlustrasi, Tata Letak:Risa ArdiyantoUkuran Buku:17,6 x 25 cm410NUHNUHARINI, Dewi m Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk SMP/MTs Kelas VIII/oleh Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni; editor Indratno. — Jakarta: PusatPerbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008.viii, 252 hlm.: ilus.; 25 cm.Bibliografi : hlm. 244Indeks. hlm. ISBN 979-462-999-51. Matematika-Studi dan Pengajaran I. JudulII. Wahyuni, Tri III. IndratnoDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
KATA SAMBUTANiiiKata SambutanPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia Nya, Pemer intah, dal am h al ini, Depar temen Pendidikan N asional, p ada tahun 200 8, tela h me mbeli hak cipta buku teks pelajar an ini dar i penulis /penerbit unt uk disebar lu askan ke pada masy arakat melaluisitus internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. Buku t eks p elajaran ini telah dinilai ol eh Ba dan Sta ndar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelay akan u ntuk dig unakan dalam pr oses pembelajaran m elalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen P endidikan N asional u ntuk digunakan s ecara l uas o leh p ara siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran y ang tel ah dialihkan hak cipt anya k epada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, ata u di fotokopi oleh m asyarakat. Na mun, u ntuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan y ang diteta pkan ol eh P emerintah. Dihar apkan ba hwa buku t eks pelajaran ini ak an lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia m aupun sekolah I ndonesia y ang berada di luar negeri dapatmemanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan
KATA PENGANTARBukuMatematika Konsep dan Aplikasinya 2 ini mem-bantumu belajar matematika dan aplikasinya dalam kehidupansehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yangmudah kamu pahami. Di dalam buku ini kamu akan menjumpaisoal-soal yang dapat melatih keterampilanmu. Dengan harapan,kamu akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.Setiap awal bab di buku ini disajikan kover bab. Bagian iniberisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan denganmateri bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikantujuan pembelajaran yang harus kamu capai dalam setiap bab.Kata-kata kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulukata-kata kuncinya sebelum kamu mempelajari isi materi.Di dalam buku ini disajikan Tugas Mandiriyang akanmeningkatkan pemahaman kamu terhadap konsep yang telah kamupelajari.Diskusiakan mendorongmu untuk lebih bersemangatdalam bekerja sama. Soal Tantanganakan memotivasi kamudalam memahami konsep. Pelangi Matematika akan menambahpengetahuan dan wawasan kamu mengenai tokoh yang berjasabesar pada konsep yang sedang dipelajari. Tipsakan membantumumemahami konsep yang sedang kamu pelajari. Di bagian akhirsetiap bab dilengkapi dengan soal-soal untuk mengevaluasikompetensi yang telah kamu capai setelah mempelajari satu bab.Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan seganuntuk bertanya jika kamu menemui kesulitan. Selamat belajar,semoga sukses.Surakarta, Mei 2008PenulisivMatematika Konsep dan Aplikasinya 2
Refleksi berisi umpan balik yang harus dilakukanoleh siswa setelah mempelajari materi satu bab.Bagian ini berisi soal-soal pilihan ganda dan soal-soal esai sebagai bahan evaluasi untuk mengukurtingkat pemahaman siswa setelah mempelajarimateri satu bab.SAJIAN ISI BUKUUji kompetensi berisikan soal-soal latihan ber-variasi yang disajikan setiap subbab.Uji kompetensi dapat digunakan untuk mengujipemahaman siswa berkaitan dengan isi materi.Bagian ini berisi tugas yang bersifat individu.Tugas mandiri memuat tugas observasi, inves-tigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacusiswa untuk berpikir kritis, kreatif, maupuninovatif.Tips berisi info atau keterangan yang dapat mem-bantu siswa memahami materi yang sedangdipelajari.Pelangi matematika berisi tokoh-tokoh yang ber-jasa besar pada konsep yang sedang dipelajari.Bagian ini berisi tugas yang harus dikerjakan secaraberpasangan atau berkelompok. Diskusi memuattugas observasi, investigasi, eksplorasi, atauinkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikirkritis, kreatif, dan inovatif.Soal tantangan berisikan suatu soal yang menantangsiswa untuk menguji kecerdasannya.Bagian ini dapat memotivasi siswa dalam mema-hami konsep materi secara total.Rangkuman berisi ringkasan materi dalam satu bab.Bagian ini disajikan di akhir setiap bab agar siswadapat mengingat kembali hal-hal penting yang telahdipelajari.vSajian Isi Buku
viMatematika Konsep dan Aplikasinya 2KATA SAMBUTAN.................................................................................................iiiKATA PENGANTAR...............................................................................................ivSAJIAN ISI BUKU..................................................................................................vDAFTAR ISI.............................................................................................................viPENDAHULUAN.....................................................................................................1BAB 1: FAKTORISASI SUKU ALJABARA. Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, dan Suku.....................4B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar................................................6C. Pemfaktoran Bentuk Aljabar.............................................................15D. Operasi pada Pecahan Bentuk Aljabar.............................................24Evaluasi 1 ..................................................................................................29BAB 2: FUNGSIA. Relasi...................................................................................................32B. Fungsi atau Pemetaan........................................................................36C. Menentukan Rumus Fungsi Jika Nilainya Diketahui.......................44D. Menghitung Nilai Perubahan Fungsi jika Nilai Variabel Berubah ...46E. Grafik Fungsi/Pemetaan.....................................................................48F. Korespondensi Satu-Satu...................................................................50Evaluasi 2 ..................................................................................................54BAB 3: PERSAMAAN GARIS LURUSA. Persamaan Garis (1)..........................................................................58B. Gradien ................................................................................................65C. Persamaan Garis (2) ..........................................................................76D. Menentukan Titik Potong Dua Garis.................................................86E. Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan KonsepPersamaan Garis Lurus......................................................................89Evaluasi 3 ..................................................................................................92BAB 4: SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABELA. Persamaan Linear Satu Variabel.......................................................96B. Persamaan Linear Dua Variabel.......................................................97C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel........................................... 101D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel...... 108E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel denganMengubah ke Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel..... 111Evaluasi 4 .................................................................................................. 114DAFTAR ISI
viiDaftar IsiBAB 5: TEOREMA PYTHAGORASA. Teorema Pythagoras.......................................................................... 118B. Penggunaan Teorema Phytagoras..................................................... 123C. Menyelesaikan Masalah Sehari-hari dengan MenggunakanTeorema Pythagoras.......................................................................... 132Evaluasi 5 .................................................................................................. 134BAB 6: LINGKARANA. Lingkaran dan Bagian-Bagiannya..................................................... 138B. Keliling dan Luas Lingkaran.............................................................. 140C. Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring.... 149D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran........................................ 153E. Segi Empat Tali Busur (Pengayaan)................................................. 158F. Sudut antara Dua Tali Busur (Pengayaan)....................................... 162Evaluasi 6 .................................................................................................. 167BAB 7: GARIS SINGGUNG LINGKARANA. Mengenal Sifat-Sifat Garis Singgung Lingkaran.............................. 170B. Melukis dan Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran........ 172C. Kedudukan Dua Lingkaran................................................................ 177D. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran.................................... 178E. Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang MenghubungkanDua Lingkaran.................................................................................... 184F. Melukis Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga................. 187Evaluasi 7 .................................................................................................. 197BAB 8: KUBUS DAN BALOKA. Mengenal Bangun Ruang................................................................... 200B. Model Kerangka serta Jaring-Jaring Kubus dan Balok................... 209C. Luas Permukaan serta Volume Kubus dan Balok............................ 213Evaluasi 8 .................................................................................................. 221BAB 9: BANGUN RUANG SISI DA TAR LIMAS DAN PRISMA TEGAKA. Bangun Ruang Prisma dan Limas..................................................... 224B. Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, serta Bidang Diagonal Prismadan Limas............................................................................................ 227C. Jaring-Jaring Prisma dan Limas........................................................ 230D. Luas Permukaan Prisma dan Limas................................................. 232E. Volume Prisma dan Limas................................................................. 236Evaluasi 9 .................................................................................................. 242DAFTAR PUSTAKA................................................................................................ 244GLOSARIUM........................................................................................................... 245KUNCI JAWABAN SOAL TERPILIH............................................................... 247DAFTAR SIMBOL.................................................................................................. 250INDEKS...................................................................................................................... 251
1PendahuluanPENDAHULUANMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologimodern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu sehinggamemajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika diberikan kepada siswamulai dari sekolah dasar untuk membekali siswa dengan kemampuan bekerja sama.Pembelajaran matematika di buku ini dimulai dengan pengenalan masalah yangsesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,siswa secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Sekolahdiharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alatperaga, atau media lainnya untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran.BukuMatematika Konsep dan Aplikasinya 2 ini diperuntukkan bagi siswakelas VIII SMP/MTs. Materi pembelajaran buku ini mengacu pada Standar Kompetensidan Kompetensi Dasar Matematika SMP/MTs tahun 2006. Kajian materi buku inimeliputi dua aspek, yaitu aspek aljabar serta aspek geometri dan pengukuran.Untuk memudahkan pembahasan, buku ini terbagi ke dalam sembilan bab sebagaiberikut.Bab 1 Faktorisasi Suku AljabarBab ini memuat materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, danpangkat pada bentuk aljabar; cara menentukan faktor pada suku aljabar;serta cara menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.Bab 2 FungsiBab ini berisi materi mengenai cara menyatakan masalah sehari-hari yangberkaitan dengan relasi dan fungsi; menyatakan suatu fungsi dengan notasi;menghitung nilai fungsi; menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsidiketahui; cara menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi;serta cara menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.Bab 3 Persamaan Garis LurusBab ini memuat materi mengenai pengertian gradien dan cara menentukangradien garis lurus dalam berbagai bentuk; cara menentukan persamaangaris lurus yang melalui dua titik, atau melalui satu titik dengan gradien tertentu;serta cara menggambar grafik garis lurus jika diketahui persamaannya.Bab 4 Sistem Persamaan Linear Dua V ariabelBab ini berisi uraian materi mengenai perbedaan persamaan linear dua varia-bel dan sistem persamaan linear dua variabel; mengenal sistem persamaanlinear dua variabel; menentukan penyelesaian sistem persamaan linear duavariabel dengan berbagai cara; membuat model matematika danmenyelesaikannya dari masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistempersamaan linear dua variabel.
2Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Bab 5 Teorema PythagorasBab ini memuat materi mengenai cara menemukan teorema Pythagoras;menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lain diketahui; menghi-tung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimewa; dan menggunakanteorema Pythagoras untuk menghitung panjang diagonal, atau sisi pada bangundatar.Bab 6 LingkaranBab ini berisi materi mengenai bagian-bagian lingkaran; cara menemukannilai pi; menentukan serta menghitung keliling dan luas lingkaran; mengenalhubungan antara sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yangsama; menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busuryang sama; menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng;serta menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juringdalam pemecahan masalah. Pada bab ini disediakan pula materi pengayaan,yaitu materi mengenai segi empat tali busur, meliputi pengertian dan sifat-sifatnya; serta uraian materi mengenai sudut antara dua tali busur.Bab 7 Garis Singgung LingkaranBab ini memuat materi mengenai garis singgung lingkaran, meliputi sifatgaris singgung lingkaran; mengenali dan menentukan panjang garis singgungpersekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran; serta cara melukisdan menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.Bab 8 Kubus dan BalokBab ini berisi uraian materi mengenai unsur-unsur kubus dan balok; jaring-jaring kubus dan balok; menemukan rumus dan menghitung luas permukaankubus dan balok; serta menemukan rumus dan menghitung volume kubusdan balok.Bab 9 Bangun Ruang Sisi Datar Limas dan Prisma TegakBab ini memuat materi mengenai unsur-unsur prisma dan limas; jaring-jaringprisma dan limas; menemukan rumus dan menghitung luas permukaan prismadan limas; serta menemukan rumus dan menghitung volume prisma danlimas.
Pernahkah kalian berbelanja di super-market? Sebelum berbelanja, kalian pastimemperkirakan barang apa saja yang akandibeli dan berapa jumlah uang yang harusdibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlahuang yang harus dibayar jika kalianmengetahui harga dan banyaknya barangyang akan dibeli. Untuk menghitungnya,kalian tentu memerlukan cara perkalian ataumenggunakan cara faktorisasi.FAKTORISASISUKUALJABARTujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat padabentuk aljabar;dapat menentukan faktor suku aljabar;dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.1Kata-Kata Kunci:penjumlahan bentuk aljabarperpangkatan bentuk aljabarpengurangan bentuk aljabarfaktor suku aljabarperkalian bentuk aljabarfaktorisasi bentuk aljabarpembagian bentuk aljabarSumber:Dok. Penerbit
4Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Tulislah setiap kalimatberikut dengan menggu-nakan variabel sebagaipengganti bilangan yangbelum diketahui nilainya.a. Jumlah dua bilanganganjil berurutan adalah20.b. Suatu bilangan jikadikalikan 5 kemudiandikurangi 3, hasilnyaadalah 12.Penyelesaian:a. Misalkan bilangan tersebut x dan x + 2, berartix + x + 2 = 20.b. Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.A. PENGERTIAN KOEFISIEN, V ARIABEL,KONSTANTA, DAN SUKUDi kelas VII kalian telah mempelajari mengenai bentuk-bentuk aljabar. Coba kalian ingat kembali materi tersebut, agarkalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian jugaharus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebihdan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraianberikut.Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah.Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika bukutulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan zmaka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x+ 2y + 3z.Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x+ 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1,dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelummempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembaliistilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.1. VariabelVariabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah.Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a,b,c, ... z.(Berpikir kritis)Tentukan variabelpada bentuk aljabarberikut.1. 2x – 4 = 02. –x2 + y + xy – 1 = 43. (3x – 1) (–x + 2) = 04. (a – b) (a+ b) = 0
5Faktorisasi Suku AljabarTentukan konstanta padabentuk aljabar berikut.a. 2x2 + 3xy + 7x – y – 8b. 3 – 4x2 – xPenyelesaian:a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel,sehingga konstanta dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8adalah –8.b. Konstanta dari 3 – 4x2 – x adalah 3.3. KoefisienKoefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.Tentukan koefisien x padabentuk aljabar berikut.a. 5x2y + 3xb. 2x2 + 6x – 3Penyelesaian:a. Koefisien x dari 5x2y+ 3x adalah 3.b. Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.4. SukuSuku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstantapada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih.Contoh:a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih.Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut sukubanyak atau polinom.Nanti, di tingkat yang lebih lanjut kalian akan mempelajari mengenaisuku banyak atau polinom.2. KonstantaSuku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidakmemuat variabel disebut konstanta.(Berpikir kritis)Sebuah segitiga pan-jang alasnya sama de-ngan setengah kalitingginya. Tuliskan luasdan keliling segitigatersebut dalam bentukaljabar.
6Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan koefisien-koefisien dari setiapvariabel pada bentuk aljabar berikut.a. 2x2 – 4yb.a2 + 3ab – b2 + 1c. 4x + 2xy + y2d. 2x – 3e.p3 – p2q + 4pq2 – 5q3 + 52. Tentukan konstanta pada setiap bentukaljabar berikut.a. 3x2 – 4x – 5b.xy – 2x + y + 1c. 2x + 4d. (x + 3)2e. 2 + x – 5x23. Manakah dari bentuk-bentuk aljabarberikut yang merupakan suku satu, sukudua, dan suku tiga?a. 3x + 2b.254xxx§· ̈ ̧©¹ dengan xz 0c.x2 – xd.a2 – b2 + (2a2 – 4b + 1)e. 1 + 2y + x + 5x2 – 3xy4. Termasuk suku berapakah bentuk aljabarberikut ini?a. 2 + 3x + ax2 + 5x4+ 6x5b.pqr– 1c. (a+b) + (a – b) + (2a – b) + (a+ 2b)d. 2au 3b + c(denganc=ab)e. 5p:q(denganq=1p dan pz 0)5. Tulislah setiap kalimat berikut denganmenggunakan variabel x.a. Umur Made dan umur Putri berseli-sih lima tahun dan berjumlah tiga belastahun.b. Suatu bilangan jika dikalikan duakemudian ditambah tiga, dandikuadratkan menghasilkan bilangan225.c. Sepuluh kurangnya dari luas suatupersegi adalah 111 cm2.d. Sebuah pecahan jika penyebutnyaditambah tiga dan pembilangnyadikurangi empat sama dengan 17.e . Umur Mira tiga puluh tahun yang laluadalah14umurnya sekarang.B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR1. Penjumlahan dan PenguranganPerhatikan uraian berikut ini.Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jikakelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakandengany maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y.
7Faktorisasi Suku AljabarSelanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).Amatilah bentuk aljabar 3x2– 2x+ 3y + x2 + 5x + 10. Suku-suku 3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis.Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabeldan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidaksejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasipenjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasipenjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapatdiselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dandistributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Cobakalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan danpengurangan bilangan bulat. Sifat-sifat tersebut berlaku padapenjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.1. Tentukan hasil penjum-lahan 3x2 – 2x + 5denganx2 + 4x – 3.Penyelesaian:(3x2 – 2x + 5) + (x2 + 4x – 3)=3x2 – 2x + 5 + x2 + 4x – 3=3x2 + x2 – 2x + 4x + 5 – 3 okelompokkan suku-suku sejenis= (3 + 1)x2 + (–2 + 4)x + (5 – 3) o sifat distributif=4x2 + 2x + 22. Tentukan hasil pengu-rangan 4y2 – 3y + 2dari 2(5y2 – 3).Penyelesaian:2(5y2 – 3) – (4y2 – 3y + 2)= 10y2 – 6 – 4y2 + 3y – 2= (10 – 4)y2 + 3y + (–6 – 2)= 6y2 + 3y – 8(Berpikir kritis)Coba ingat kembalimengenai sifatkomutatif, asosiatif,dan distributif padabilangan bulat.Eksplorasilahpenggunaan sifat-sifattersebut pada bentukaljabar.Diskusikan hal inidengan temansebangkumu.
8Matematika Konsep dan Aplikasinya 21. Tentukan koefisien dari x dan y2 padabentuk aljabar berikut.a. 3x + 5y2 – 4x + (–2y2) – 7b. 2y2 – x + 4 – y2 + 3x – 5c. 6x – 4y2 + z – 2x + y2 – 3zd. 3(x – y2 + 2) – 5(2x + 3y2 – 2)2. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabarberikut.a. (2x + 8) + (4x – 5 – 5y)b. (3p + q) + (–2p – 5q + 7)c. (3x2 + 2x – 1) + (x2 – 5x + 6)d. 2(x + 2y – xy) + 5(2x – 3y + 5xy)3. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabarberikut.a. (2x + 5) – (x – 3)b. (x2 + 4x – 1) – (2x2 + 4x)c. (y2 – 3) – (4y2 + 5y + 6)d. (5a – 6 + ab) – (a + 2ab – 1)4. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabarberikut.a.a2 + 2ab – 3b2 – 7a2 – 5abb.x2 – x – 6 + 3x2 – xyc. 3p3 – 2pq2 + p2q – 7p3 + 2p2qd. –2(p3 – 2pq + q2) + 3(p3 + 4pq –q2)2. Perkaliana. Perkalian suatu b ilangan dengan bentuk aljabarCoba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat.Jikaa,b, dan cbilangan bulat maka berlaku a(b+c) = ab+ac.Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasiperkalian pada bentuk aljabar.Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan kdinyatakan sebagai berikut.k(ax + b) = kax + kbKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Jabarkan bentuk per-kalian berikut.a. 2(3x – y)b. 8(–x2 + 3x)Penyelesaian:a. 2(3x – y) = 2 u 3x + 2 u (–y)= 6x – 2yb. 8(–x2 + 3x) = –8x2 + 24x2. Selesaikan bentuk per-kalian berikut.a. 2(–6x)Penyelesaian:a. 2(–6x) = 2 u(–6)ux= –12x
9Faktorisasi Suku Aljabarb.1123a§· ̈ ̧©¹c. (–4x)(–2y)d. (3a)(–3a)b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabarTelah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalark dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb.Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentukaljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperolehsebagai berikut.(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd= acx2 + (ad + bc)x + bdSifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dansuku tiga.b.1123a§· ̈ ̧©¹=1123§·u u ̈ ̧©¹a= –4ac. (–4x)(–2y) = (–4) u(–2)u xy= 8xyd. (3a)(–3a) = 3u (–3)u a2= –9a2Panjang sisi miringsebuah segitiga siku-siku adalah(5x – 3) cm, sedang-kan panjang sisi siku-sikunya (3x + 3) cmdan (4x – 8) cm.Tentukan keliling danluas segitiga tersebutdalam bentuk aljabar .(ax + b) (cx2 + dx+e)= ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e)= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + beSelanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian(ax + b) (ax + b), (ax + b)(ax – b), (ax – b)(ax – b), dan(ax2 + bx + c)2. Pelajari uraian berikut ini.a.222222222ax b ax b ax bax ax b b ax bax ax ax b b ax ba x abx abx ba x abx b b.222222ax b ax b ax ax b b ax bax ax ax b b ax b ba x abx abx bax b (Berpikir kritis)Dengan memanfaat-kan sifat distributif,tentukan hasil perkali-an dari bentuk aljabar(ax2 + bx + c)2.Diskusikan dengantemanmu.
10Matematika Konsep dan Aplikasinya 2c.22222222axb axbaxbax ax b b ax bax ax ax b b ax b ba x abx abx ba x abx b Tentukan hasil perkalianbentuk aljabar berikut.1. (x + 2) (x + 3)2. (2x + 3) (x2 + 2x – 5)Penyelesaian:1. Cara (i) dengan sifat distributif(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)=x2 + 3x + 2x + 6=x2 + 5x + 6Cara (ii) dengan skema(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6=x2 + 5x + 6Cara (iii) dengan peragaan mencari luas persegi panjangdenganp = x + 3 dan l = x + 2 seperti ditunjukkan padaGambar 1.1.(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6=x2 + 5x + 62. Cara (i)dengan sifat distributif(2x + 3) (x2 + 2x – 5)= 2x(x2 + 2x – 5) + 3(x2 + 2x – 5)= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15= 2x3 + 7x2 – 4x – 153xx2( + 2) ( + 3)xx(a)3x2(b)x2x36xx2=Gambar 1.1(Berpikir kritis)Dengan mengguna-kan skema, coba ja-barkan bentuk aljabar(ax + by) (ax + by + z).
11Faktorisasi Suku AljabarCara (ii) dengan skema(2x + 3) (x2 + 2x – 5)= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15= 2x3 + 7x2 – 4x – 15Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabarberikut.a. 2(x + 4)e. 4a2(–a + 2b)b. –3(a – 2b)f. 2xy(x – 4)c. 5(3x + 2y)g. –p2(p2 – 3p)d. –2a(a + 4b)h. 12(4x – 6y)2. Jabarkan bentuk perkalian berikut de-ngan menggunakan sifat distributif.a. (2x – 3) (x + 5)b. (3x – y) (x + y)c. (5m – 1) (m + 4)d. (2p + q) (p – 4q)e. (a – 4) (2a + 3)f. (a + 3b) (2a – 4b)g. (–3 – p) (5 + p)h. (5 + a) (7 – a)3. Jabarkan bentuk perkalian berikut de-ngan menggunakan skema, kemudiansederhanakan.a. (2x + 3) (x – 4)b. (a + 3b) (a – 5b)c. (5m – 1) (2m + 4)d. (a – 3) (a2 + 4a + 5)e. (x + y) (3x2 + xy + 2y2)f. (3k – 5) (k2 + 2k – 6)g. (a + ab + b) (a – b)h. (x2 + 3x – 5) (x2 – 2x – 1)4. Tentukan hasil perkalian berikut.a.ab(a + 2b – c)b. 5xy(x – 3y + 5)c. 2xy(x – 3y)d. 5a(3ab – 2ac)e. 3y(4xy – 4yz)3. Perpangkatan Bentuk AljabarCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilanganbulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalianberulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulata, berlaku...nsebanyak n kalia aaa a uuuu Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan padabentuk aljabar.
12Matematika Konsep dan Aplikasinya 2(a + b)1=a + bkoefisien a danbadalah 1 1(a + b)2=(a + b) (a + b)=a2 + ab + ab + b2=a2 + 2ab + b2koefisien a2,ab, dan b2 adalah 1 2 1(a + b)3=(a + b) (a + b)2=(a + b) (a2 + 2ab + b2)=a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3koefisien a3,a2b,ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1(a + b)4=(a + b)2 (a + b)2=(a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2)=a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4=a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4koefisien a4,a3b,a2b2,ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhati-kan perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.a. 3x2= 3 uxux= 3x2b. (3x)2= (3x)u (3x)= 9x2c. –(3x)2= –((3x)u (3x))= –9x2d. (–3x)2= (–3x)u (–3x)= 9x2Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar sukudua, perhatikan uraian berikut.Demikian seterusnya untuk (a + b)ndengann bilangan asli.Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien(a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.
13Faktorisasi Suku Aljabar(a + b)0o1(a + b)1o 1 1(a + b)2o 12 1(a + b)3o 1 3 3 1(a + b)4o 1 46 4 1(a + b)5o 1 510 10 51(a + b)6o 1 6 15 20 15 61(a + b)7o ................Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari ankemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada sukuke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bnpada suku ke-(n + 1).Perhatikan contoh berikut. (a + b)5=a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 (a + b)6=a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6Tentukan hasil perpangkat-an bentuk aljabar berikut.a. (2x + 3)4b. (x + 4y)3Penyelesaian:a. (2x + 3)4= 1(2x)4 + 4(2x)3(3) + 6(2x)2(32) + 4(2x)1(33) + 1(34)= 1(16x4) + 4(8x3)(3) + 6(4x2)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81b. (x + 4y)3= 1(x3) + 3(x2)(4y)1 + 3x(4y)2 + 1(4y)3=1x3 + 3x2(4y) + 3x(16y2) + 1(64y3)=x3 + 12x2y + 48xy2 + 64y3Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasil perpangkatan bentukaljabar berikut.a. (5a)3c. (–3x)3b. (2xy)2d. (4p2q)2(Berpikir kritis)Berdasarkan konsepsegitiga Pascal, cobajabarkan bentukaljabar (a + b)n untuk7dnd 10.Bandingkan hasilnyadengan temansebangkumu. Apakahjawabanmu sudahtepat?
14Matematika Konsep dan Aplikasinya 2e. (–5xy3)4g. –(3pq)4f. –(2abc)3h.a(ab2)32. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabarberikut.a. (x + 4)3e. (3m – 2n)4b. (a – 5)4f. (4a – 3b)3c. (2x + y)3g. (2y2 + y)3d. (3p + q)4h. (3a – 2)53. Tentukan koefisien (a + b)n pada sukuyang diberikan.a. Suku ke-3 pada (3a + 4)4.b. Suku ke-2 pada (x + 3y)3.c. Suku ke-2 pada (a – 2b)4.d. Suku ke-4 pada (–2x + 5y)5.e. Suku ke-5 pada (2m – 3)5.4. Jabarkan bentuk aljabar berikut,kemudian sederhanakan.a. (2x – 1)2b. (3 + 5x)2c. (2x + y)2 + (x + 2y + 1)d. (3x + 1)2 – (3x – 1)2e. (3x + 2)2 + (2x + 1)(1 – 2x)4. PembagianKalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan,perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalianakan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubahmenjadia = puq dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan qdisebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentukaljabar.Perhatikan uraian berikut.2222323222 u uu uux yzx y zxyz x y zPada bentuk aljabar di atas, 2, x2,y, danz2adalah faktor-faktor dari 2x2yz2, sedangkan x3,y2, dan z adalah faktor-faktordari bentuk aljabar x3y2z.Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalahx2,y,danz, sehingga diperoleh222322x yzx yzxyz22zx yz2xyzxyBerdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jikadua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasilbagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yanglebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentukaljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutukedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.
15Faktorisasi Suku AljabarSederhanakan bentukaljabar berikut.1. 5xy : 2x2. 6x3 : 3x23. 8a2b3 : 2ab4. (p2qupq) : p2q2Penyelesaian:1.5555 :222 2u ouxy y xxy xy faktor sekutu xxx2.32322226 326 :32333x xxx xx faktorsekutu xxxu o3.2322328248:22242a b ab aba b abababab faktorsekutu abuo4.23222222222222:uu up q pq p qpq pq pqpqpqpq pppqKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Sederhanakan bentuk aljabar berikut.1. 6xy : 2y2. 10a2b4c3 : 2abc3.p4q6r5 : pq2r34. 6x3y7 : 2xy : 3y5. 18a3b5c6 : 2ab2 : 3a2c2C. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABARDi kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPKdan FPB. Pada materi tersebut kalian telah mempelajari caramenentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingatkembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Perhatikanuraian berikut.48 = 1 u 48= 24u 3Bilangan 1, 24, 3, dan 48 adalah faktor-faktor dari 48.6. 20a4b5c7 : (4a2b2c3 : 2abc)7. 21p4q5r3 : (8p2qr3 : 2pqr)8. 3x2yu 2yz2 : xyz9. 30x6y9 : (5x4y2u 2xy3)10. 32x4yz6 : 2xyzu 4xy2z3
16Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Bilangan 2 dan 3 adalah faktor prima dari 48.Jadi, bentuk perkalian 24u 3 merupakan faktorisasi primadari 48.Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilanganadalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut.Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributifa(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut.ax ay a x y+ = ( + )bentukpenjumlahanbentukperkaliandengan , , dan adalahbilangan real.ax yDari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapatdinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentukpenjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentukax + ay = a(x + y),a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dariax + ay.Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentukperkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalahmenyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkaliandari bentuk aljabar tersebut.Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapabentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cxBentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih danmemiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakansifat distributif. ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...) ax + bx – cx=x(a + b – c)Faktorkanlah bentuk-ben-tuk aljabar berikut.a. 2x + 2yb.x2 + 3xc.a2 + abd.pq2r3 + 2p2qr + 3pqrPenyelesaian:a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga2x + 2y = 2(x + y).b.x2 + 3x memiliki faktor sekutu x, sehinggax2 + 3x = x(x + 3).c.a2 + ab memiliki faktor sekutu a, sehinggaa2 + ab = a(a + b).
17Faktorisasi Suku AljabarFaktorkanlah bentuk alja-bar berikut.a. x2 – 4b.a2 – 9b2c. 4p2 – 36d. 9x2 – 25y2Penyelesaian:a. x2 – 4 = x2 – 22= (x – 2) (x + 2)b.a2 – 9b2= a2 – (3b)2= (a – 3b) (a + 3b)c. 4p2 – 36= (2p)2 – 62= (2p – 6) (2p + 6)d. 9x2 – 25y2= (3x)2 – (5y)2= (3x – 5y) (3x + 5y)Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.1. 3x – 3y 6. 3p2 – 1211.x2 – 2516. 64a2 – 92. 2x + 6 7.ab + bc12. 9m2 – 1617. 8a2 – 2b23.x3 + xy2 8. 8pq + 24pqr13. 1 – x218. 25p2 – 16q24.ap2 + 2ap 9.x4 – 3x2 + x14. 49 – p219. 36x2 – 81y25. 4x2y – 6xy310. 15x2 – 18xy + 9xz15. 9x2 – 1620. 81p2 – 100q2d.pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr,sehinggapq2r3 + 2p2qr + 3pqr = pqr(qr2 + 2p + 3).2. Bentuk Selisih D ua Kuadrat x2 – y2Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakanselisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.222222 x y x xy xy yx xy xy yxx y yx yxyxyDengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapatdinyatakan sebagai berikut.22 x y xyxy
18Matematika Konsep dan Aplikasinya 23. Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 danx2 – 2xy + y2 perhatikan uraian berikut.a.22222222 x xy y x xy xy yx xy xy yxx y yx yxyxyxyb.22222222 x xy y x xy xy yx xy xy yxxy yxyxyxyxyBerdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2Faktorkanlah bentuk-ben-tuk berikut.a.p2 + 2pq + q2b.x2 – 4x + 4Penyelesaian:a.22222222 p pq q p pq pq qp pq pq qpp q qp qpqpqpqb.2222442242 2422 2222 xx xxxxx xxxxxxx4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1Pada pembahasan di depan telah kalian pelajari mengenaiperkalian antara suku dua dan suku dua sebagai berikut.
19Faktorisasi Suku Aljabar1. Faktorkanlah bentukaljabar berikut.a. x2 + 4x + 3b.x2 – 13x + 12Penyelesaian:Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + cdenganc positif sebagai berikut.–Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.–Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.a.x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)b.x2 – 13x + 12 = (x – 1) (x – 12)(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6=x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkanmenjadix2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)ÈÈ5 = 2 + 3 6 = 2 u 3 2 u 3 = 6 2 + 3 = 5Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentukx2 + bx + c.Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktor-kan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilanganreal yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama denganb.Misalkanx2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).x2 + bx + c= (x + m) (x + n)=x2 + mx + nx+mn=x2 + (m + n)x + mnx + bx + c = x + m + n x + mn22() x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dengan mun = c dan m + n = b3 Jumlah1 3 412Jumlah11213268347
20Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Penyelesaian:Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabarx2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.–Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.–Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.–Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama denganb, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertandasebaliknya.a.x2 + 4x – 12 = (x – 2) (x + 6)b.x2 – 15x – 16 = (x + 1) (x – 16)Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.1.x2 – 6x + 8 6.m2 + 8m + 1611.x2 – 6x + 916.t2 – 3t – 182.x2 + 9x + 20 7.p2 – 8p + 1212.x2 – 2xy + y217.b2 – 2b – 83.x2 + 7x + 12 8.b2 + 6b + 913.a2 – 2a – 1518.p2 + 8p – 334.p2 – 5p + 4 9.p2 – 4p + 414.m2 + 2m + 119.n2 + 2n – 85.a2 + 8a + 1210.x2 – 8x + 1615.a2 + 5a – 2420.y2 + 3y – 4012Selisih1121126434116Selisih116152864405. Bentuk ax2 + bx + c dengan az 1, az 0Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengansuku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.(3x + 2) (4x + 3)= 12x2 + 9x + 8x + 6= 12x2 + 17x + 6Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 u 8 = 12 u 6.12u 6 = 729u 8 = 729 8 = 172. Faktorkanlah bentukaljabar berikut.a.x2 + 4x – 12b. x2 – 15x – 16
21Faktorisasi Suku AljabarBerdasarkan uraian di atas dapat dikatakan bahwa bentukax2 + bx+c dengan a z 1, az 0 dapat difaktorkan dengan caraberikut.ax2 + bx + c=ax2 + px + qx + cdenganpuq=auc p +q=bSelain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumusyang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 +bx + c dengan az 1. Perhatikan uraian berikut.Misalkanax2 + bx+c = 1a (ax + m) (ax + n).ax2 + bx + caxmaxna222a ax bx c a x amx anx mn a x + abx + ac = a x + a m + n x + mn2()222Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa mun = auc danm + n = b.Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua carauntuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c denganaz 1sebagai berikut.a. Menggunakan sifat distributifax2 + bx + c=ax2 + px + qx + c denganpuq=auc danp + q=bb. Menggunakan rumusax2 + bx + c=1a(ax + m) (ax + n) denganmun=aucdanm + n=b
22Matematika Konsep dan Aplikasinya 2ac = 45 Jumlah1 45463 15185914Penyelesaian:a. Memfaktorkan 3x2 + 14x + 15.Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c,az 1untukc positif sebagai berikut.–Jabarkan auc menjadi perkalian faktor-faktornya.–Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.3x2 + 14x + 15; a = 3; b = 14; c = 15Cara 1Dengan menggunakan sifat distributifDua bilangan yang hasil kalinyaac = 3 u 15 = 45 dan jumlahnya 14adalah 5 dan 9, sehingga3x2 + 14x + 15 = 3x2 + 5x + 9x + 15=x(3x + 5) + 3(3x + 5)= (x + 3) (3x + 5)Cara 2Dengan menggunakan rumus3x2 + 14x + 15 = 13(3x + 5) (3x + 9)=139353xx=1333 53u xx= (x + 3) (3x + 5)Jadi, 3x2 + 14x + 15 = (x + 3) (x + 5).b. Memfaktorkan 8x2 + 2x – 3.Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c,az 1denganc negatif sebagai berikut.–Jabarkan auc menjadi perkalian faktor-faktornya.–Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.–Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanyadenganb, sedangkan bilangan yang bernilai lebihkecil bertanda sebaliknya.Faktorkanlah bentuk-ben-tuk aljabar berikut.a. 3x2 + 14x + 15b. 8x2 + 2x – 3
23Faktorisasi Suku AljabarCara 1Dengan menggunakan sifat distributifDua bilangan yang hasil kalinya ac= 8 u 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah4 dan 6, sehingga8x2 + 2x – 3= 8x2 – 4x + 6x – 3= 4x(2x – 1) + 3(2x – 1)= (4x + 3) (2x – 1)Cara 2Dengan menggunakan rumus8x2 + 2x – 3= 18(8x – 4) (8x + 6)=118 48 642u xx=14(8x – 4) u12(8x + 6)=1142 124 342u uu xx= (2x – 1) (4x + 3)Jadi, 8x2 + 2x – 3 = (2x – 1) (4x + 3).ac = 24Selisih1 24232 1210385462Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.1. 2x2 + 7x + 38. 12m2 – 8m + 115. 2y2 + 5y – 3 2. 3x2 + 18x + 59. 10a2 – 43a + 1216. 4x2 – 7xy – 2y2 3. 2x2 + 5x + 310. 12x2 – 34x + 1017. 6x2 + 5xy – 6y2 4. 3y2 + 8y + 411. 3p2 + 7p – 618. 8a2 + 2ab – 15b2 5. 5x2 + 13x + 612. 8a2 + 10a – 319. 1 + 3m – 18m2 6. 3y2 – 8y + 413. 6y2 – 5y – 620. 15 – 7x – 2x2 7. 8p2 – 14p + 514. 5x2 + 23x – 10
24Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Selesaikan operasi penjum-lahan atau penguranganberikut.1.24339xx2.4531xxSederhanakan bentukaljabar2221385.122915xxxxPenyelesaian:1.2223(3)4343 (3)(3) (3)(3)943 99359xx xx xxxxxxx 2.224 (1) 5(3)4531(3)(1)44 515231923 xxx x xxxxxxxxx2. Perkalian dan Pembagian Pecahan AljabarPerkalian antara dua pecahan dapat dilakukan denganmengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebutdenganpenyebut.uu ua c a c acbdbdbdDengan cara yang sama, dapat ditentukan hasil perkalianantara dua pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.D. OPERASI PADA PECAHAN BENTUKALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan AljabarDi kelas VII kalian telah mempelajari operasi penjumlahandan pengurangan pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu.Sama seperti pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu,pada pecahan aljabar dengan penyebut suku dua dan sama dapatlangsungdijumlah atau dikurangkan pembilangnya.Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabardengan penyebut berbeda dapat dilakukan dengan caramenyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya. a c ad bcb d bd atau a c ad bcb d bd
25Faktorisasi Suku AljabarSelesaikan operasi perkali-an berikut.1.22552uaaaa2.2351uxx xxPenyelesaian:1.22(5)(5)2552(5)(2)(5)252u aa aaaa a aaaaaaaa2.22(1) 33515(1)35uu xxxx xxxxxPembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan denganmengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengancara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.:u u uada c a dadb d b c b c bcSelesaikan pembagian pe-cahan aljabar berikut.1.24:34mm m2.222:a babaaPenyelesaian:1.2244:34 3443 (4)43(4) umm m mmmmmmm2.22222222:()()()() u ababab aaa abaa b a baaa ba baa abMisalkan.xy1Tentukan hasil dari11.§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹xyxy
26Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Sederhanakanlah.a.13a abb.23434xxxxc.2324xxd.2124981xxe.1253xxf.231525yyg.22252 95xxxxxh.2236636 xyxyxx x2. Sederhanakanlah.a. 463 2uxxx y xyb.2111mmuc.3261236181218ux yxyxy x yd.3232yyyyy§·§· u ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹e.22222 5 64 4 142 21xx xxxxx u3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.a.243 4:4xxxx b.225:13121aabaaa c.4169:3522xxx§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹d.221:xxyxyxyxy§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹e.222231720 3129:28 2 39xx xxxx xx 3. Menyederhanakan Pecahan AljabarPecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebutpecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1.Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut suatu pecahanmemiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapatdisederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan denganmemfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudi-an dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebuttersebut.
27Faktorisasi Suku AljabarSederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut.1.22324a b abab2.223102115xxxxPenyelesaian:1.2232(32 )44324a b ab ab a bababab2.22310(2)(5)2115(21)(5)221 xx xxx x xxxx4. Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)Pecahan bersusun (kompleks) adalah suatu pecahan yangpembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuatpecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukandengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPKdari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan padapenyebut pecahan bersusun.Sederhanakan pecahan-pecahan berikut.1.111abab2.22yxyxxyPenyelesaian:1.11111(1)baa b abababbab bab ababa abu2.2222 22222211xy x yy x xyxy xyxyxy x yxyu
28Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Sederhanakan pecahan-pecahanberikut.a.22644987xxb.2222b axax bc.221266pqr p qrpqrd.225668xxxxe.22211xxy x y 2. Sederhanakan pecahan bersusun ber-ikut.a.1111xyxyb.24ababc.22432xxxd.111121221xxe.1xyxyxyxyxyxy1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabardapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif,asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yangsejenis.3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menya-takan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian daribentuk aljabar tersebut.4. Untuk menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukandengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebihdahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilangdan penyebut tersebut.
29Faktorisasi Suku AljabarSetelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalianmengenaiFaktorisasi Suku Aljabar? Jika kalian sudah paham,coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakankepada gurumu. Catat pula manfaat apa saja yang dapat kalianperoleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkankepada gurumu.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1. Pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy – y2terdapat ... variabel.a. 1c. 3b. 2d. 42. Suku dua terdapat pada bentuk aljabar....a. 2x2 + 4x – 2b. 3x2 – y2 + xy – 5c. 4x2 – y2d. 2x23. Hasil pengurangan a2 – 2a dari2 – 3a2 adalah ....a. –4a + 2a + 2c. 2a2 + 2a – 2b. 4a2 – 2a – 2d. a2 – 2a + 24. Hasil dari (x – y) (2x + 3y) adalah ....a. 2x2 – 5xy – 3y2c.x2 – 5xy – y2b. 2x2 + xy – 3y2d.x2 + xy – y25. Bentuk sederhana dari2(x – 3y + xy) – 2xy + 3x adalah ....a. 4x – xy – 3yc. 4x – 6y + xyb. 5x – xy – 4yd. 5x – 6y6. Diketahui 'ABC siku-siku di C,dengan AC = (x – 7) cm, BC = (x –14) cm, dan AB = x cm. Panjang sisiAC adalah ....a. 21 cmc. 28 cmb. 25 cmd. 35 cm7.5225xxxx = ....a.22 3925xxxxc.2262925xxxxb.2262925xxxxd.2262925xxxx8. Jika2344520 xax ax x x xbxcmaka perbandingan (b – c) : a = ....a. 1 : 3c. 1 : 4b. 1 : 2d. 1 : 69. Bentuk sederhana dari 24923aa = ....a. 4 – 6ac. 2 + 3ab. 4 + 6ad. 2 – 3a10. Bentuk sederhana dari 224 4141xxx= ....
30Matematika Konsep dan Aplikasinya 2a.2121xxc.22xxb.2121xxd.22xx11. Bentuk sederhana dari2232212x xxx xx u = ....a.14xxc.41xxb.41xxd.14xx12. Bentuk aljabar 25a2 – 16b2 jika difak-torkan hasilnya ....a. (5a – b) (5a – b)b. (a + 4b) (a – 4b)c. (5a – 4b) (5a – 4b)d. (5a – 4b) (5a + 4b)13. Pemfaktoran x2 – 19x – 20 adalah ....a. (x – 4) (x + 5) c. (x + 1) (x – 20)b. (x – 2) (x – 10) d. (x + 2) (x – 10)14. Pemfaktoran dari 4x2 + 14x – 18adalah ....a. (4x – 3) (x + 6)b. (2x – 3) (2x + 6)c. (4x – 2) (x + 9)d. (2x – 2) (2x + 9)15. Luas sebuah persegi panjang adalah(2x2 + 3x – 9) cm2 dan panjang sisinya(4x + 6) cm. Lebar persegi panjangitu adalah ....a. 2(x + 3)c. 14(2x – 3)b.34(x + 3)d. 12(2x – 3)B. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Sederhanakanlah.a.222 2352 1x xy x xyb. (2x2y – xy2 + 3) – (x2y + 2xy2 – 7)c. (2p – 3) – (3p + 7) – (5p – 9) +(p – 12)d. –2(m + 3) – 4(2m – 2(m + 5) – 8)e. 3(6a – (a + b)) + 3(–2(2a + 3b) +4(a – b))2. Jabarkan dan sederhanakanlah.a. (3x – 2) (4x + 5)b. (x + 8y) (2x – 3y)c. (9p – 5q)2d. (8a – 3b) (8a + 3b)e. (x + 5) (x2 + 6x – 4)3. Faktorkanlah.a.x2 + 6x – 16b. 8x2 – 2xy – 15y2c.p2 – 16q4d. 9a2 – 8a – 1e. 49x2 – 28x + 44. Sederhanakanlah.a.22 2 222xy x yxy b.22491228xxxc.22211xxy x y d.2211211aa a e.11ababba5. Diketahui suatu segitiga dengan alas(x + 2) cm dan luasnya (x2 – 4) cm2.a. Tentukan tinggi segitiga dalamvariabelx.b. Jika x = 3, tentukan ukuransegitiga tersebut.